卷五十六
钦定四库全书歴算全书卷五十六宣城梅文鼎撰方圆幂积一卷方圆幂积说歴书周径率至二十位然其入算仍用古率(十一与十/四之比例)(本祖冲之径七周/二十二之宻率)岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方
圆二幂之比例(径一则方周四圆周三一四一五九二/六五而径上方幂与员幂亦若四与三)(一四一五九二六五尾/数八位并以表为用)亦即为立方立圆之比例(同径/之立)(方与圆柱若四与二一四有竒则同径/之立方与立员若六与三一四有竒)殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反复推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也方圎相容
新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云又云径一围三绝非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有竒零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外
方内员与外员之幂皆加倍之比例假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁员员内又容甲乙丙丁小平方小方内又容壬丑癸子小平员如此逓互相容则其幂积皆如二与一也假外大平方(戊己/庚辛)之积一百则内小平方之积(甲丁/乙丙)必五十平员亦然若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方
假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径(甲丙或丁/乙并同)开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径(或用戊庚或己辛或己/戊或辛庚为径并同)开方求二百之根得径一十四一四有竒甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四(一四竒/)也折半则为五与七(○七竒/)故曰方五则斜七有竒也三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为
四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己平员平员内又容丁戊己小三邉则内小三邉形为外大三邉形四之一内外两平员之幂其比例亦为四与一若有多层皆以此比例逓加浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙
戊及戊甲皆立方边(丙辛及甲辛并同丙/乙及甲丁等亦同)丙戊甲辛为立方面(余六面/并同)丙甲(为方面/斜线)丙丁(为立方体/内对角线)即浑员径(乙/甲)(同其辛壬及己戊皆/亦对角若作线亦同)丙乙及甲丁等又皆为立楞(戊壬及/辛己同)解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍(句股/法也)(斜为弦方为句又为股并句股实/成弦实故倍方幂即成斜径之幂)又以斜径为股立方之立楞为句求得立方体内両对角之斜径为弦此弦实内有股实(即面上斜/径之幂为)(方幂/者二)有句实(即立楞之幂立楞原即方/邉故其幂即立方面幂)共得方
幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七(又三十五/之一十一)为径若有几层互容皆以此比例逓加即得若求其体积则为五倍有竒之比例(若有多层亦以/此比例逓加)假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒
解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七(又三十五/之一十一)乗之得五千一百九十四(又七/之二) 此言大方积又在圗上浑员之外积之比例立方同径之立员其比例为六○○与三一四立方同径之员柱其比例为四○○与三一四员柱与同径之立员其比例为三与二方圎周径相求
同积较径 为方变员员变方之用凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除
凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○
乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径
约法以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九
也方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而
员大所以能互相为比例约法以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周 皆用异乗同除例如左一 员周一○○○○○○ 一 方周一○○○○○○二 方周一一二八三七九 二 员周○八八六二二六
三 方径○二八二○九四(七五/) 三 员径○二八二○九四(七五/)四 员径○三一八三○九(八八/) 四 方径○二五○○○○积七九五七七(四四八○○○/○○○) 积六二五○○○○○○○○一 员径一○○○○○○ 一 方径一○○○○○○二 方径○八八六二二六 二 员径一一二八三七九三 方周三五四四九○四 三 员周三五四四九○四四 员周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○积七八五三九(八一六○○○/○○○) 积一○○○○○○○○○○○○
第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理同径较积较周 即方内容员员外切方凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五方径一○○○○周四○○○○ 积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六
方径二○○○○周四○○○○ 积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也
同周较积较径凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆升皆视周数之位
今用百万为周则积升六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬绝定位之法所以当明也问位既大升而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六
倍所谓再加之比例浑圎内容立方径一万寸求圎径 法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为弦实开方得弦一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱 周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂
以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸约法 立方径一千尺其积一十尺 外切之浑圎径
一十七尺三二○五 浑圎积二千七百二十○尺六九五四 约为二千七百二十一尺弱试再用径上立方求浑圎积法(即立方内求/所容浑圎)以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率(三一/四竒)乗之得数六除之得浑积并同立方与员柱若四○○与三一四竒(同径之/员柱也)立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周 此条为积
之比例员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例浑员面幂与员径上平员若四与一员柱面幂与员径上平员若六与一(六员角之底皆/外向合成此数)平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上
四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍立方面与径上平方若六与一(六面/故也)立方体与浑员体若六○○与三一四竒浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑
员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒立员得员柱三之二论曰凡员柱之面及底皆立员径上平员也旁周似员筩亦如截竹周围并以员径为髙即员径乗员周幂也为径上平员之四倍与浑员面幂同积(半径乗半周得平员则全/径乗全周必平员之四倍)合面与底共得
平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣(三之二即六/之四之半)问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角体至面至底成员角体二皆以半径为髙平员为底其余则外如截竹而内则上下并成虚员角于是纵剖其一邉而令员筩伸直以其
幂为底以半径为髙成长方锥(底/濶)(如全径直如员周髙/如半径锥只一㸃)此体即同四员角(或纵剖为四方锥亦同皆以/周四分之一为底濶以全径)(为底长以半径为髙其体并同员/角何也以周四之一乗全径与半)(径乗半周同故方底同员底/而其髙又同则方角同员角)合面底二员用共六员角矣而浑员体原同四员角(浑员面为底半径为/髙作员锥即同四员)(角/)是员柱浑员二体之比例亦三
与二也员角体得员柱三之一 凡角体并同凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎若立方形各从方楞切至心则成六方角(皆以方面为/底半径为髙)从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半
成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等甲戊丙丁浑员体 从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙(以甲丑卯辰割浑员之面为/底乙为其锐此割员曲径自)(丑而甲而辰居/员周三之一)一丙癸寅子乙(以子丙寅癸浑员之割面为/底乙为其锐此割员曲径亦)
(三之一如三百六/十之一百二十)此上下两角体相等皆居全浑体四之一中腰成鼓形而上下两面并穵空各成虚员角(其外则周遭皆凸面如丑戊/子及辰丁癸之割员状此割)(员曲径自辰而丁而癸居员周/六之一为三百六十之六十)此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也
如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面为所切乙子寅癸小员角体之底乃子寅小半径乗子未癸小半周所成也然则以子寅小半径乗子未癸小半周又以乙寅半半径为
髙乗之而取其三之一即小角体矣试又于中腰鼓体从丑子及卯寅及辰癸诸立线周遭直切之脱去其外鼓凸形即成员柱体之外周截竹形又从酉乙申横切之为两(一仰盂/一覆碗)则此覆碗体举一式为例可直切断而伸之亦可成方角体此体以乙寅半半径乗子未癸午
小员全周为底(其形/长方)又以小半径子寅(子寅即/乙申)为髙而乗之取三之一为长方角体此长方角体必倍大于小员角体何也两法并以小半径及半半径两次连乗取三之一成角体而所乗者一为小员全周一为小员半周故倍大无疑也
又丙癸寅子亦可成角体与乙子寅癸等覆碗体既倍大则兼此两角体矣凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也又角体内既切去一小角体又穵去一相同之小角体则所余者为丙癸寅子员底仰盂体
鼓体内既穵去如截竹之体则所余者为内平(如丑子/及辰癸)外凸(如子戊/丑及辰)(丁/癸)之空圈体而此体必倍大于员底仰盂体何以知之盖两体并以半径为平面(丑子与癸/丙并同)并以员周六之一为凸面而腰鼓之平面以半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一
头则只得其半矣故决其为倍大也凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸
面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜弦用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑弦与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎甲亢半径与甲丑同以作丑亢平员与甲丑夘辰凸面等幂
试又作甲戊线为半径之斜线(甲乙与戊乙皆半/径为句为股故也)以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎(如图甲丑为半径作乙庚房平员/与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑)(割员凸面等为/浑幂四之一也)(甲戊为半径作戊心亥平员与甲/丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚)(房亦倍大于丙戊甲平员/则平员居浑幂四之一)如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣
取浑幂四之一法当以半径为通弦以一端抵圎径之端为心旋而䂓之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等甲辰(即丁/乙)之自幂一百辰夘之自乗幂(七十/五)如四与三则辰丑通弦为径以作平员亦丁戊全径上平员四分之三也大小两平员各为底以半径为髙而作员角体其比
例亦四与三也今浑员径上平员(即下戊径/上平员)所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通弦径所作之员角体即浑体十六之三矣(即甲丑夘辰角体及/乙丑夘辰角体之合)若以丑辰通弦上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三分浑体为四又法甲乙丙浑员体 从员周分为三(一丑甲辰一辰癸丙/一丙子丑各得周三)(之/一)又从辰从丙从丑依各半径(辰乙丙乙/丑乙皆是)至乙心旋而
切之则成三角体者三各得浑体四之一(一辰甲丑乙一丑子丙/乙一丙癸辰乙说见前)则其所余亦浑体四之一也(此余形/有三平)(员面以辰丑丑丙辰丙为员径而/并穵空至乙心如员锥之幂有两)(凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界/以乙为顶皆弧三角形三角并锐)两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通弦也凖前论以此通弦为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三(即先所论员/角体八之三)
若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五(即员角体/八之五)环堵形面幂 锥形面幂有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得甲乙丙平方于其周作立起之方围形如环堵取平方乙丙半径为髙则方围面幂倍大于平方
论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立
圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍法于锥形之各斜面取其至锐之中线(如乙/丙)以为环墙之髙即得方墙如环堵底用方周髙如乙丙即斜面自锐至底之斜立中线解曰此以锥体之斜面较幂也
论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线(乙/丙)于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而
自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形(仰盂覆碗之/内空如笠)一为环形也(鼓体之内/空如截竹)准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体
撱圎算法(订厯书之误/)偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺甲己三百五十戊乙七百相并得一千○五十 以此乗己乙一千○五十尺 以此除两数相同
右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉(小分渐小如辛癸甲则/其甲己小于己戊而己)(乙者己戊与戊乙并也则其/数亦大于甲己与戊乙并矣)
又如截大分长七百二十分己乙为其轴甲己为其小分轴六百八十分依厯书法甲己小分轴(六百/八十)为一率甲乙长径(一千/四百)并戊乙短径(七/百)共(二十/一百)为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也(虽壬庚畧小于/丙丁在中腰相)
(近可以/不论)今试求之(用苐/一圗)依勿庵改法假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己 依勿庵补法以己戊(三百五/十尺)自乗(一十/二万)(二千五/百尺)与甲戊(七百/尺)自乗(四十九/万尺)相减余(三十六万七/千五百尺)开方得己庚相当之原数 再以丙戊(三百五/十尺)乗之甲戊(七百/尺)除之为己庚实数倍之为庚壬线再以壬庚线上方变为平员今用简法(因长径甲乙与/短径丙丁原是)(折半之比/例故也)竟以减余(三十六万七/千五百尺)命为庚壬线上方以
十一乗之得(四百○四万/二千五百尺)又以十四除之得(二十八万/八千七百)(五十/尺)为庚壬线上所截撱体之平圎面法以平圎面各乗其(大分/小分)之轴(一千○五十尺/三百五十尺)皆成圎柱形乃三除之为(大/小)分内所容之(大/小)圎角形再以长径(一千四/百尺)乗大圎角为实小轴(三百五/十尺)除之为所截撱形之大分以长径(一千四/百尺)乗小圎角为实大轴(一千○/五十尺)除之为所截撱形之小分
今用简法 置平圎面三除之得(九万六千二/百五十尺)以小分轴(三百/五十)乗之得庚甲壬小圎角形(三千三百六十八/万七千五百尺)置小圎角四因三除之得(四千四百九十一万六千/六百六十六又三之二)为所截小圎分又置圎面三除之积(九六二/五○)以大分轴(一千○/五十尺)乗之得庚子乙大圎角形(一亿○一百○六/万二千五百尺)置圎角形(一○一○六/二五○○)用四因之得(四亿○四百/二十五万尺)为所截大圎分
小圎分大圎分两形并之(共四亿四千九百一/十六万六六六六)为撱形全积另求撱形全积置短径(七/百)自乗得(四十/九万)以长径(一千/四百)乗之得(六亿八千/六百万)以十一因之二十一除之得(三亿五千九百三/十三万三三三)为真撱圎全积以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱
若用厯书法 求得截小分(二千三百六十八/万七千五百尺)与小圎角同截大分(六亿○六百三/十七万五千)为大圎角之六倍相并得(六亿四千○○六/万二千五百尺)为撱圎全积 与撱圎真积相较其差更甚如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无弊可存
厯算全书卷五十六